Энвер Мушурович Одобашев родился 26 декабря 1917 года в Адигенском районе Грузии, в селении Апиет. До войны, начиная с 1939 года, работал учителем истории средней школы района Адиген, затем школы селения Леливан.

22 июня 1941 года был призван в ряды Советской Армии. 15 января 1947 года демобилизован из рядов Советской Армии. Капитан, 23 февраля 1945 года Президиумом Верховного Совета СССР награжден медалью «За оборону Кавказа», 9 декабря 1946 года орденом Отечественной войны 11 степени № 537591. Ветеран Орджоникидзевской дивизии Внутренних Войск НКВД СССР. С февраля 1947 года по апрель 1966 года работал учителем истории в сельских школах Киргизии. В 1966 году переехал в Азербайджан. С августа 1966 года по июль 1970 года – учитель истории районной школы в Саатлы, в Азербайджане. Умер 19 апреля 1993 года в Кабардино-Балкарской республике, в селении Ерокко.

Впервые имя Одобашева я услышал, будучи студентом Ташкентского института народного хозяйства, в начале семидесятых годов. В то время в столице Узбекистана был большой наплыв молодежи из числа турок-ахыска, обучающихся в высших и средних учебных заведениях. Помню, то ли в 1970, то ли в 1971 году мы собрались в сквере имени Революции. Молодежи было не менее 500 человек. Вот там-то и прозвучало имя Одобашева. Потом, когда мы стихийно стали собираться в частных квартирах с целью создания ячеек молодежного движения за возвращение на родину, об Одобашеве я узнал более подробно. Нужно было иметь большое мужество и смелость в условиях тоталитаризма в конце 1950-х годов организовать общественное движение за возвращение на родину. Этими всеми качествами обладал в полной мере Э.Одобашев.

Первое общенародное собрание турок-ахыска было проведено в 1961 году в колхозе «Ленин йули» Букинского района Ташкентской области. На съезде присутствовало около 600 делегатов из разных регионов. Власти были проинформированы организаторами мероприятия о его проведении и не чинили препятствий, но прислали наблюдателей – представителей от обкома и райкома компартии Узбекистана, а также КГБ. На собрании было объявлено о создании Временного организационного комитета освобождения от высылки (сокращенно ВОКО). Собрание приняло программный документ и обращение к центральным властям. Программный документ из 11 пунктов ставил перед движением следующие задачи: полную реабилитацию народа, снятие всех запретов и ограничений на передвижение, получение официального разрешения на организованное возвращение в Южную Грузию. Председателем ВОКО избрали Энвера Одобашева.

В 1963 году было проведено Второе общенародное собрание в Ташкентской области, в 1965 и в 1966 годах – Третье и Четвертое – в Саатлинском районе Азербайджана, в 1968 году – Пятое – в Ташкентской области Узбекистана.

В ноябре 1968 года одна из делегаций ВОКО добилась приема у ответственного работника ЦК КПСС Б.П. Яковлева, который обещал решить вопрос в ближайшее время и дал устное разрешение на переселение турок-ахыска в Грузию. Весной 1968 года 450 семей ахыскинских турок переселились в западные районы Грузии – Махарадзевский, Зугдидский и Галльский районы. Местные хозяйства остро нуждались в притоке рабочей силы, поэтому районные власти первоначально приветствовали прибытие переселенцев. Однако в начале июля 1968 года более 200 семей, без какой либо официальной мотивировки, были выселены из Махарадзевского и Зугдидского районов с помощью милиции.

24 июня 1968 года в Тбилиси, в центре города, власти разогнали собрание очередной делегации, добивавшейся приема в ЦК компартии Грузии, а вместе с ними и турок-ахыска, высланных из Западной Грузии. В Тбилиси тогда собралось до семи тысяч ахыскинских турок. Через год, в июне 1969 года повторилась массовая высылка турок-ахыска из Галльского района. Влиятельные силы в руководстве Грузии были решительно настроены не допускать переезда в республику даже части турок-ахыска.

С другой стороны усилилось давление на участников движения: с ними проводили беседы в местных органах власти, в КГБ, милиции, членам КПСС угрожали наказанием по партийной линии. 23 марта 1966 года Э. Одобашев и первый секретарь ВОКО Аллаз Изатов были задержаны в аэропорту г.Фрунзе и на следующий день, как за мелкое хулиганство, заключены на 15 суток. В апреле 1968 года узбекские власти силами милиции и КГБ пытались воспрепятствовать проведению в Янгиюльском районе Пятого общенародного собрания. Часть собравшихся была разогнана с помощью пожарных машин, более 120 человек подверглась административному задержанию.

19 апреля 1969 года в г. Саатлы, Азербайджан, на учительской конференции был впервые арестован Э. Одобашев. В тот день в его доме был произведен обыск. 21 апреля несколько сот ахыскинских турок из различных населенных пунктов района, бросив работу, собрались в Саатлы, у здания райкома партии и потребовали немедленного освобождения Э.Одобашева. Его выпустили на свободу в ночь на 23 апреля. 27 августа 1969 года, 33-я по счету делегация ахыскинских турок в составе 113 человек пыталась получить объяснение происходящему в ЦК КПСС, но натолкнулась на оскорбления чиновников в приемной ЦК. В знак протеста делегаты бросили в приемной свои советские паспорта и другие документы и заявили о желании отказаться от советского гражданства. Утром 28 августа часть делегатов была задержана милицией и отправлена из Москвы по месту жительства. 6 апреля 1970 года члены ГОКО Э. Одобашев, М.Ниязов, И.Керимов и Т.Ильясов обратились в Посольство Турции с запросом относительно возможности выезда в эту страну желающих. В случае отказа властей от решения проблемы возвращения депортированных на родину.

В начале мая 1970 года в селении Адыген Саатлинского района Азербайджана было проведено Шестое общенародное собрание. Итоговое постановление от 2 мая 1970 года осуждало акты насилия и произвола со стороны властей и содержало упоминание о том, что именно это заставило ГОКО обратиться в посольство Турции.

27 мая 1971 года были задержаны и подвергнуты административному аресту члены ГОКО  М. Ниязов, А. Мамедов и Р. Сайфатов, которые хотели пройти в Турецкое консульство для обсуждения вопроса о желающих эмигрировать ахыскинских турок.

В 1971 году власти продолжали проводить политику «кнута и пряника». 17 мая ответственный работник ЦК КПСС Старченко обещал делегации во главе с Э.Одобашевым, что вопрос о возвращении турок-ахыска решится положительно в течение ближайших трех-четырех лет. В то же время усилились репрессии. 18 июля 1971 года узбекские власти силами КГБ и милиции пытались воспрепятствовать проведению Седьмого общенародного собрания в 3-м отделении совхоза имени Кирова Среднечирчикского района Ташкентской области. Вопреки всему собрание состоялось: дороги были перекрыты слишком поздно, когда уже в назначенном месте собралось более 1000 человек, а угрозы арестов и разгона не возымели действия. В августе арестовали Одобашева и вскоре осудили в Баку на два года лагеря общего режима по ст. 162 УК Азербайджанской ССР, якобы за «самовольный захват колхозной земли». Во время заключения его повторно судили в Ташкенте и добавили срок 2,5 года по ст. 191-4 и 191-6 УК Узбекской ССР за «распространение заведомо ложных измышлений, порочащих советский строй, и организацию групповых действий, грубо нарушающих общественный порядок». Освободился он в апреле 1974 года.

В октябре 1971 года был осужден за «хулиганство» на 3,5 года М.Ниязов. В том же, 1971 году лагерные сроки получили А.Иззатов – на 2 года, Р.Сайфатов – на 1 год, а в 1972 году – И.Каримов – на 8 месяцев.
После освобождения Э. Одобашева, деятельность центрального руководства движения была возобновлена (центральный орган вновь стал именоваться ВОКО). 8 июня 1976 года, в селении Ерокко Кабардино-Балкарской АССР, прошло Восьмое общенародное собрание.

В 1978 и 1980 гг. в Азербайджане прошли Девятое и Десятое общенародные собрания. 14 февраля 1978 года на приеме у председателя Совета Министров Грузии З.А. Патаридзе, так называемой малой делегацией ВОКО, были получены заверения в том, что грузинское руководство в ближайшее время начнет репатриацию турок-ахыска, в частности примет на территорию Грузии в течение года от 4 до 10 тысяч человек. Однако, при повторной встрече 29 июня того же года, делегация получила иное заявление: вопрос о допуске турок-ахыска на территорию пяти приграничных районов выходит за рамки компетенции правительства Грузинской ССР, а размещение в других районах республики потребует дополнительных согласований и более долгих сроков.

Последующие четыре визита членов ВОКО в Тбилиси летом-осенью 1978 года не прояснили планы грузинского руководства. В сентябре ВОКО выразил согласие с предложением З.А. Патаридзе и довел эту позицию до первого секретаря ЦК компартии Грузии во время приема «малой делегации» 15 февраля 1979 года. 3 апреля 1979 года ЦК Коммунистической партии Грузии принял постановление о расселении и трудоустройстве малых групп ахыскинцев в некоторых районах Грузии. Но из этого ничего не вышло.

В 1980-1981 гг. лидеры ВОКО подготовили ряд коллективных петиций на имя генерального секретаря ЦК КПСС, председателя Президиума Верховного Совета СССР Л.И.Брежнева, других руководителей государства, а также на имя делегатов ХХVI съезда КПСС. Власть по-прежнему чередовала обещания и проволочки с репрессивными методами. В ноябре 1981 года одной из делегаций удалось добиться аудиенции у генералов КГБ В.И. Проскурина и Н.М. Голушко, во время которой им были даны обнадеживающие обещания. Но 8 февраля 1982 года очередной делегации турок-ахыска в грубой форме отказали в приеме в ЦК КПСС. Члены делегации (52 чел.) в знак протеста заявили, что они не покинут помещение приемной. Однако оттуда они были выдворены к концу рабочего дня сотрудниками милиции и депортированы из Москвы. Через несколько дней Ю.Сарваров был арестован в селении Нартан и осужден на два года по ст.191 УК РСФСР (оказание сопротивления работнику милиции).

В феврале 1986 года в Кабардино-Балкарии прошло Десятое общее собрание турок-ахыска (оно не имело статуса общенародного собрания). На нем 16 февраля с поста председателя был смещен Э.Одобашев. Председателем был избран А.Сафаров.